올바른 수학 공부

무엇을 더 공부해야 하는지를 알려면 먼저 현재 학습성취도의 시험결과에의 반영률 즉, 아는 것만큼 점수가 나왔는지를 알아야 합니다. 그러기 위해서는 치루었던 시험을 분석해야 합니다. 그러면 무엇을 어떻게 더 해야 하는지 저절로 파악이 됩니다.

• 맞았다면: ① 정말 아는 것을 맞았는지 ② 실수에 노출될 수도 있었는지, 부족한 부분을 다행히 피했는지 등
• 틀렸다면: ① 실수, 검토의 부재, 시간 부족, 암산, 긴장, 기타 이유 때문인지 ② 학습이 부족한것인지, 어설프게 잘못 안 것 때문인지 등

위험에 노출된 습관은 교정하고, 실수는 줄이면 되고, 모르는 부분은 학습하면 되고, 목표와 기대치는 조정하면 됩니다. 그런데, 보통 “맞았으니까 뭐 됬고”, “아! 실수네! 다음엔 안그래야지”, “어! 아는 건데 생각을 못했네. 다음엔 생각해 주겠지.” 하고 맙니다. 실수라도 이유가 있고 (실수도 실력입니다), 생각을 못해준 것도 다 이유가 있지요.

그 이유를 찾아서 대책을 세워야 다음에 좋은 결과가 나오는 것입니다.

예를 들어, 어설픈 암산이 이유라면 적어서 푸는 습관을 들이고, 잘못된 풀이 습관이 원인이라면 습관을 교정하고, 긴장이 원인이라면 긴장을 해소시켜 주어야하고, 시간부족이라면 시간배분을 연습해야하고, 공부한 것에 비해 점수가 나오지 않았으면 기대치와 목표를 조정하고...

바로 이 부분에서 선생님들의 도움을 받는다면 그 원인파악과 대책마련이 혼자 고민하는 것보다 다소 쉬워집니다.

교정된 학습으로 실력이 늘었다 해서 바로 점수로 연결되는 것은 아닙니다. 시간이 필요하지요. 점수는 변화가 없더라도 실력의 변화는 본인이 느낍니다. 이 때는 여유를 가지고 기다려야 합니다. 그 여유를 가지기가 쉽지 않지요.

다음을 생각하면 좀 쉬울까요... 물이 1/4 담긴 컵에 10분이 지나 1/4이 더 채워져서 총 1/2이 물이 찼다고 합시다. 이 때 사람들의 반응은 크게 세 가지입니다.

• 첫째, 아직도 다 안찼네. 언제 다 찰까. 짜증을 부리면서 더 빨리 채울 다른 방법을 찾는다.
• 둘째, 시간 대비 속도를 체감하고, 20분이 더 지나면 다 차겠구나. 계속 기다려야지..
• 셋째, 아무 생각이 없고 다른 사람의 컵과 비교만 한다.

본인의 반응은 어느 쪽인지 가늠해보기 바랍니다. 실력의 변화가 점수의 변화로 연결되기 위해서는 시간이 필요합니다.

기본개념을 이해하고 기본문제를 통해 공식을 습득
기본개념이해는 학교나 학원, 인터넷강의, 과외 등 여러 가지 방법으로도 습득이 가능하지만 그 질이 중요합니다. 성적이 시험 때마나 편차가 크다면 유형별 학습에 치중했기 때문입니다. 물론 이도 중요합니다. 하지만, 유형별 학습에만 치중한 수학학습은 어느 정도 이상의 점수는 기대하기 힘듭니다. 이론을 처음 배울 때 선생님들께서 항상 유도과정이나 배경을 설명합니다. 이 때 증명은 시험에 잘 안나온다는 생각에 공식을 외운 후 유형별 학습만 하는 학생들은 공부는 편하게 하나, 이론의 유출과정이나 응용문제에서 약세를 보이기 마련입니다. 이를 극복하기 위해서는 나중에 처음부터 다시 시간을 투자하여야 합니다.

개념과 공식의 활용을 돕는 여러가지 형태의 문제를 풀고 반복
주의할 점은 시험에 나올 문제를 미리 다 풀어봐야 된다는 생각에 이해만 하고 새로운 문제만 풀면 안된다는 것입니다. 만약 이해는 하고 문제를 많이 풀어봤는데도 시험시간에 검토할 시간이 없거나 아예 시간이 부족하다면, 이해한 것이 점수로 연결된다는 잘못된 생각에 사로잡혀있기 때문입니다. 항상 새로운 문제만 원하는 학생들, 한번 푼 문제는 안다는 생각에 다시 반복하지 않는 학생들은 시험시간에 약 80% 이하의 문제만을 풀 수 있습니다. 나머지는 실수나 난이도가 높은 문제에의 시간배분의 실패 등으로 놓치게 되는 것입니다. 쉬운 문제에서 시간과 정확성을 확보해야 실제 시험에서 검토와 어렵고 새로운 문제에 시간을 할애할 수 있습니다. 단기적, 장기적 반복의 훈련이 필요하지요.

기존 시험의 기출문제를 통해 기출유형과 난이도 체감, 학습한 내용 숙성
공부가 어느 정도 됐다면 각종 시험기출문제에 대한 분석이 이루어져야 합니다. 예를 들어, 수능을 대비하면서 수능기출문제도 보지 않고 시중 문제집만을 푸는 학생이 있다면 이것은 공부를 거꾸로 하고 있는 것입니다. 기출문제도 시기별로 유행하는 유형이 있고 난이도의 변화도 있는데 이 부분을 수험생 본인이 직접 확인하지 않고 선생님들의 말만을 믿는 것도 위험하다고 할 수 있습니다. 성적은 학생 본인의 것이므로 직접 확인해야 합니다.

학교 내신은 시험을 출제하는 학교별, 선생님별로 난이도가 편차가 있는 편입니다. 교육과정을 기본으로 하지만, 선생님별로 교육과정을 넘나들기도 하고, 시험 범위가 아주 줄어들기도 합니다. 따라서, 굳이 이야기하자면 내신에서는 학교 선생님의 수업내용이 교육과정보다 우선입니다. 하지만, 주의할 것은 내신이 전부가 아니고 수능이나 논술도 대비하여야 합니다. 대입수능시험은 교육과정이라는 테두리 안에서 이루어지는 시험으로, 교육과정 안에서 가장 정선된 문제들로 이루어져 있습니다. 따라서, 교육과정을 넘는 내용은 아무리 내신에서 강조되었더라도 다룰 필요가 없거나 우선 순위가 뒤로 밀려야 하는 것입니다. 어느 부분이 교육과정이고 선생님별로 추가되거나 빠지는 부분이 어느 부분인지를 확실히 구분하여 학습하여야 합니다. 물론 이 부분은 학교 선생님들이 짚어주겠지만 일부 학교나 선생님들은 그러지 않으므로 본인이 챙겨야 합니다.

시간배분, 검토, 실수 유형의 발견과 대책마련 등을 실전모의고사를 통해 훈련
문제를 많이 풀어봤는데도 시험시간에 검토할 시간이 없거나 아예 시간이 부족하다면, 반복부족과 시간배분의 실패, 긴장 등이 원인입니다. 실전모의고사를 통해 성적이 잘나오지 않는 원인파악과 부족한 부분의 점검을 해야 합니다. 이해만으로는 점수를 얻기 힘듭니다. 반복 훈련이 필요합니다.

수학성적은 정해진 시간에 얼마나 빨리 정확하게 푸는지에 달려있다는 것을 잊어버리면 안됩니다.

그리고, 실전모의고사를 통해 점수에 대한 욕심을 버리는 훈려도 해야 합니다. 간혹 앞의 문제를 풀다가 시간이 모자라 뒷 문제를 손을 못댄 경우가 있습니다. 이런 현상은 대부분, 될 듯 말 듯한 문제, 생각하는 문제 등에 아무 생각 없이 시간을 쓴 경우입니다. 시험에서 절대 있을 수 없는 일입니다. 시험에서는 “많이 맞자” 가 아니라 “아는 문제는 확실히 맞자” 라는 자세가 중요합니다. 몰라서 못 푼 문제는 있어도 시간이 부족해서 손을 못 댄 문제가 있어서는 안됩니다.

또, 실전모의고사를 통해 “검토” 라는 훈련도 해야겠지요. 누구나 실수는 할 수도 있습니다. 하지만 검토로 걸러내야겠지요. 검토는 아무 때나 할 수 있는 훈련이 아닙니다. 일정 시간의 시험 시간을 투자한 후 잠깐 동안만 할 수 있는 것입니다. 그래서 아무리 모의고사라도 실전처럼 연습해야겠지요.

기본을 지켜 단계적으로 하는 것이 오히려 효율적입니다. 단기적으로 성적을 올리는 요행을 바라는 것과 효율적으로 공부하는 것은 다른 이야기입니다. (요약공부로 항상 좋은 결과를 기대할 수는 없는 것입니다.)

정말 중요한 것입니다. 학생의 현재 학습상태는 뒷전이고 부모님과 학생의 기대치로만 계획을 짜고 학생을 그것에 맞추면 안됩니다. 학생의 상태를 파악해야 학습 커리큘럼과 알맞은 수업형태를 결정할 수 있습니다.

다음은 상담 중에 많이 듣게 되는 내용들입니다.

• 1. 이 학원에 다니면 성적이 오르나요?
  성적을 올려주길 바라며 학원 등록하지 마세요. 공부하려면 등록하세요. 공부하면 성적은 절로 따라 오는 것입니다. 당연한 이야기지만 받아들이기 힘들다 느낀다면 바로 그런 자세가 성적이 나오지 않는 이유입니다. 저학년은 강압적인 방법으로 성적을 올릴 수 있지만 학년이 오를수록 한계가 있지요. 간단한 예로 중학생 90점이상이 많을까요.. 고등학생 90점이상이 많을까요. 굳이 자료를 들지 않아도 중학교 학생들의 분포가 더 많다는 것은 금방 느낄겁니다. 그렇다면 그중 일부는 고등학교 때 성적이 하락한다는 이야기인데 그 학생들의 이유는 무엇일까요. 바로 부모님과 선생님이 공부를 했기 때문입니다. 학생이 공부를 해야지요. 방법론이야 여러 가지이겠지만 선생님에게 의지하는 수동적인 공부는 피해야만 합니다.
• 2. 친구가 다녀서 성적이 올라서 소개받았어요. 저도 오르겠지요?
  그건 친구 이야기입니다. 본인성적은 본인이 공부해야지요.
• 3. ( )학원을 ( )동안 다녔는데 성적이 그대로예요. 어떻게 하면 좋을까요?
  다니기만 했으니까, 시키는 숙제만 억지로 선생님에게 보여주는 공부 아닌 공부를 했으니까 성적이 오르지 않지요. 즉, 본인 머리와 손으로 하는 진짜 공부를 하지 않았으니까... 학원이나 과외를 했는데 성적이 오르지 않아 학습방법을 바꾸려는 학생과 학부모님들은 최근 1달 동안 학습상태가 기존보다 나아진 부분이 있는지를 꼭 생각해 보세요. 없다면 기존 하던대로 공부했다는 것이고, 성적의 변화가 없는 것은 당연한 것이지요. 학습상태의 긍정적인 변화는 있는 데 성적이 오르지 않았다면 기다려야지요. 너무 성급하면 안됩니다.
• 4. 열심히 공부했는데 성적이 오르지 않네요. 어떻게 하면 좋을까요?
  나름 열심이겠지요.... 공부를 했다는 기준은 사람마다 다릅니다. 심지어 부모님과 학생 간에도 기준이 다릅니다. 예를 들어, 90점을 원하는 학생이 70점 만큼 공부하고 열심히 했다고 생각한다면, 그리고 이유를 다른데서 찾는다면 그것은 말이 안되지요. 양심불량입니다.

안하니만 못한 고민을 할 시간에 학생 본인의 학습상태를 객관적으로 냉정하게 생각해보아야 합니다. 먼저 선생님과의 상담으로 본인의 학습상태를 점검하여야 합니다. 점검해야할 내용은 대표적으로 다음과 같습니다.

① 교육과정 실력 점검 ② 현 학습상태 점검 ③ 학습성취도의 성적에의 반영률 점검 ④ 학습목표, 성적 기대치와 성적 결과가 다른 원인 분석 ⑤ 학습목표, 성적 기대치 조정과 학습 습관 교정 ⑥ 지속적인 학습관리와 주기적인 학습목표, 성적 기대치 조정

단, 상담에 충분한 시간이 필요하겠지요.

학습상태의 파악이 끝난 후에는 학습 커리큘럼을 짜야 합니다. 이것은 학생마다 조금씩의 차이는 있겠지만 교육과정이라는 큰 공통분모가 있으므로 비슷하다고 할 수 있습니다. 커리큘럼에서 학교 교육과정은 중요합니다. 예를 들어, 고1 학생은 고1 과정을 기본으로 마쳐야 한다는 것입니다. 이는 내신성적을 결정하므로 가장 중요합니다. 커리큘럼의 차이를 결정하는 것은 학습목표입니다. 학습목표가 결정되면 거기에 맞는 선행과 특성학습이 필요합니다. 학습목표에 따라 심화가 필요한지, 선행이 필요한지, 교과과정을 넘는 학습이 필요한지를 파악하고 그것을 커리큘럼에 반영해야겠지요. 예를 들어, 자연계열 학생이라면 수학진도를 학교 수업속도에 맞추면 약간 늦는 감이 있지요. 실력이 숙성될 시간이 부족하기 때문입니다. 따라서 커리큘럼이 빠르게 짜여진 것이 좋을 수 있습니다.

학습 커리큘럼이 짜여지면 수업유형을 결정해야 합니다. 그 전에 수업유형을 알고 있어야지요. 학원수업을 굳이 구분하자면, 진도가 반별로 진행되는 일반수업과 진도가 학생에 맞춰서 진행되는 맞춤수업 크게 두 가지입니다. 모든 수업유형은 일장 일단이 있습니다. 본인에게 맞는 수업유형을 선생님과의 상담을 통해 택해야 합니다.

첫번째 수업유형은 학교수업과 중복된 면이 많은 수업입니다. 보통의 학교나 학원에서의 칠판수업이 이 성향이 강한 수업일 것입니다. 이는 어느 면에서는 필요하지만 사실 공교육과 사교육이 부딪히는 부분입니다. 서로 존중해주어야 할 것입니다. 학생들이 이런 수업을 원한다면 이것은 학교수업이 어떤 이유로든 소홀해져있단 이야기입니다. 학교수업의 결손이 있거나 특강인 경우 효율적인 수업유형이나 학습성취도의 결과는 학생의 학습태도에 따라 천양지차일 것입니다. 이 수업에서 주의할 점은 학습내용의 평균화에 있습니다. 비슷한 실력을 가지고 있는 학생들에게 같은 수업내용이 전달되기 때문이지요. 개인별 학습 내용을 확인하고, 확실히 이해시키고, 더욱 더 보충 심화 점검을 하기 위해서는 시간이 절대적으로 부족합니다. 학생이 학습내용을 알고 이해했다고 해서, 숙제를 했다 해서, 무작정 믿을 수는 없기 때문에 그냥 넘어갈 수는 없는데, 개인별로 모두 확인하기에는 시간이 필요하지요. 그렇기에 일괄적인 테스트가 이루어지고 답만 체크하는 일이 생깁니다. 또는 보조선생님에게 관리가 넘겨지지요. 가장 중요한 부분인데 말입니다. 예를 들어, 숙제를 내주어서 학생이 이행을 해왔을 때, 확인을 할 수 있는 방법은 대체로 연습장 검사와 유사문제의 테스트입니다. 답은 맞았는데 풀이과정이 어설픈 경우에 이를 발견하고 교정시키기 위해서는 풀이과정을 들여다 보아야 하는데 그것은 일반적인 칠판수업에서는 불가능에 가까운 일입니다. 그래서 첨삭이라 해서 별도의 시간에 다른 선생님이 담당하는 경우가 생기지요. 그렇다고, 수업시간 중에 모든 것을 소화시키기 위해 너무 밀도있게 수업을 진행하는 것도 바람직하지 않지요. 자칫 선생님만 열심히 하는 결과를 초래할 수 있습니다.

공부의 주체는 선생님이 아니라 학생 본인입니다. 학생이 학습하는 내용을 어느 정도 소화시킬, 숙성시킬 시간이 필요한 것입니다. 예를 들어, 칠판수업을 할 때, 첫 번째 칠판의 학습성취도가 90%인 학생이 다음 두 번째 칠판을 연이어 바로 학습한다면 두 번째 칠판은 약 80%밖에 성취하지 못하지요. 이유는 방금 첫 칠판을 학습해서 아직 이해만 한 단계이기 때문입니다. 첫 칠판 내용으로 두 번째 칠판 내용을 이어갈텐데 첫 번째 칠판 내용을 어느 정도 외우고 자기 것이 되어야 두 번째 칠판도 90% 가량의 성취도를 보일 수 있는 것입니다. 다시 예를 들자면, 미분의 정의를 가르친 후에 바로 문제풀이 위주로 수업을 진행하면 좋을까? 물론 문제를 통해서 정의를 이해시키는 것도 좋지만 문제풀이가 전부가 될 수 있습니다. 정의를 반복, 훈련, 어느 정도의 암기 후에 문제를 풀어야 미분의 정의가 더욱 심층이해되고 응용력의 기본이 생기는 것입니다. 하지만 칠판수업시간에 그게 가능할까? 집중력이 있고 수업시간에 밀도있게 공부하는 학생이라면 당연히 가능하겠지만 그것은 일부 학생에 그치지 않습니다. 물론 그런 학습습관이 이상적이겠지만 현실에서는 학생에게 조금의 시간을 주어야 할 것입니다. 칠판수업에 비해 인강이나 맞춤수업은 가능한 편입니다. 언제든지 멈출 수 있으니까, 나만을 위한 수업이니까.

이 때문에 맞춤수업의 형태가 필요해졌지요. 사교육의 공존과 학원교육의 필요성이 이야기되는 부분일 것입니다. 보통의 과외수업이나 소수 그룹 수업이 이 성향이 강한 수업일 것입니다. 이 부분에서 인강과 맞춤수업의 장점이 부각되는 것입니다. 이들의 가장 큰 장점은 수업내용을 소화할 시간을 벌면서 학습할 수 있는 것입니다. 특히, 인강은 부수적으로 어디에서든, 언제든, 몇 번이든, 학습할 수 있는 장점도 추가되지요. 이 수업유형에서 주의할 점은 학습성취도가 공부를 하려는 학생에게는 좋게 나타나지만, 공부를 하려는 의지가 없는 학생에게는 그렇지 않다는 것입니다. 예를 들어, 공부에 대한 의지가 부족하여 과제 불이행이 지속되고, 선생님의 반복된 지적에 내성이 생기고, 학생은 스트레스를 받겠지요. 그렇다고 강도를 계속 높여 지도하면 더욱 더 안좋은 상황이 되겠지요. 오히려 일반수업에서의 가볍게 지나치는 지적만 못한 효과를 얻을 수 있습니다. 그리고 혼자 공부하다 보면 다른 학생들에 의한 자극이 덜 할 수 있지요. 그나마 일반적인 칠판수업의 형태가 선생님의 풀이를 보면서 눈에 의한 모방학습 효과라도 얻을 수 있고, 학생이 스스로 공부할 시기를 기다려줄 수 있을 것입니다.

그렇다면 이상적인 수업유형은 무엇일까? 선생님이 학생을 이해시키는 기본적인 수업도 중요합니다. 하지만 그 후에, 학습내용의 분석(Analyze), 반복(Repeat), 관리(Manage)가 더욱 더 중요합니다. 따라서 그때 그때 학생의 학습상황과 학습할 내용에 맞는 복합적인 수업유형이 필요합니다. 즉, 담당 선생님의 인터넷 수업, 현장 수업을 통한 일반 수업과 맞춤수업이 혼합된 수업이 이상적입니다.